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안녕하세요. 왓수입니다.
저는 고등학교 수학 교육과정을 초등학교 5학년 때부터 시작하여 지금까지 학생들의 교육을 위해 공부하고 있는 24살 대학생입니다. 수많은 학생을 만나 과외를 통해 가르치고 동네 학원에 10개월 동안 정규 강사로 활동하면서 수많은 수포자 학생들을 만났고 이 학생들을 성장시키기 위해 어떻게 가르칠지 공부법에 대해 고민하고 연구하면서 수학 공부를 할 때 제가 가졌던 습관들 그리고 어떤 마음을 가지고 공부에 임해야 하는지 깊게 생각했습니다.
실제로 제 덕에 수학 내신이 6등급이던 모 학생은 학교에서 1등급을 받았고 7등급이 나오던 모 학생은 확률과 통계 파트 공부를 처음부터 단추를 잘 끼워 공부한 덕에 공부를 하지 않아도 1등급이 나올 정도로 실력을 키웠습니다.
아래 사진은 학원에서 가르친 학생과의 인스타그램 DM입니다. 지금은 친한 형, 동생 사이로 잘 지내고 있습니다.
아까 말한 확률과 통계를 제대로 공부한 학생이 이 친구입니다. 제가 지금 이야기할 이 공부법들을 제대로 수행한 덕에 공부를 아예 못하던 학생도 자신이 할 수 있는 사람이라는 걸 스스로 깨닫게 되었고 지금은 자기가 원하는 대학과 원하는 학과에 장학금까지 받으면서 행복하게 지내고 있습니다.
그럼 지금부터 시작할 수학 공부법 포스트를 꼭 꼼꼼하게 읽고
여러분의 수험 생활에 도움이 되길 바랍니다!
1. 만약 인터넷 강의를 들을 것이라면
1.1. EBS "50일 수학"
수학은 정말 단계적인 학문입니다. 초등학교 수학이 되지 않으면 중학교 수학이 안되고 중학교 수학이 안되면 고등학교 수학이 안됩니다. 몇몇 학생들은 착각을 합니다.
어차피 미적분이나 확률과 통계는 고1 과정이랑 연관도 크게 없어 보이는데 따로 시작해도 괜찮지 않을까?
답변을 하자면 절대 아닙니다.
그런 식으로 공부하면 간단한 계산 문제는 풀 수 있을지 몰라도 고난도 유형이나 수능 4점 문제는 절대 풀 수 없습니다. 대부분의 고난도 문제는 미적분이면 미적분, 확통이면 확통 안에서만 나오는 게 아니라 예를 들면 직선의 방정식에 등장하는 내분점, 외분점과 함수의 극한이 결합된 문제처럼 중학교 또는 고등학교 1학년 수학 과정과 연결시켜 문제를 출제합니다. 그리고 개념 이해를 위해서라도 기본적인 내용은 정확히 알고 있어야 합니다.
즉, 처음에 시작하는 베이스를 튼튼하게 깔 필요가 있는데 이에 효과적인 인터넷 강의는 정승제 강사님의 50일 수학은 짧고 빠르게 베이스를 다지고 시작할 수 있는 좋은 도구라고 생각합니다.
1.2. 유튜브를 활용하자.
50일 수학으로도 충분하겠지만 정말 EBS 강의로도 뭔가 잘 안되는 것 같고 계정 만드는 것조차 귀찮다면 유튜브에 고1 수학을 검색하고 필터를 가지고 재생목록을 검색해보세요. 모두 무료에다가 여러 강의가 있어서 몇 개 들어보고 자신에게 맞는 채널을 찾아 들으면 됩니다.
1.3. 인터넷 강의 사이트 - Megastudy, 대성마이맥, 이투스 등
어느 정도 실력이 쌓였다고 판단되면 유명 인강 사이트에서 강의하는 강좌를 수강하여 들어도 좋습니다. 여기서 실력이 쌓였다의 기준은 모의고사를 쳤을 때 시간 내에 내가 모든 문제를 손댈 수 있다는 수준을 말합니다. (푸는 것이 아니라 손은 댈 수 있을 정도, 아예 몰라서 문제를 넘기는 게 아니라 끄적일 수는 있을 정도면 충분합니다.)
2. 교재는 무엇을 사야할까
인터넷 강의 교재는 당연히 있어야지 그걸 풀면서 공부를 하는거고 충분히 시간이 남고 인강 교재를 해낼 수 있는 정도가 되면 부교재라는 것을 사서 다른 유형의 문제를 접해보고 경험하는 것도 굉장히 중요합니다. 개념을 정확히 아는 것도 중요하지만 내가 알고 있는 것을 적용할 수 있는지 파악하는 것도 개념 못지 않게 중요합니다.
교재는 보통 개념서, 유형서로 나뉩니다. 개념은 인강을 통해서 기초부터 쌓도록 하고 인강 교재로 개념을 이해했다고 생각해보면 유형서를 사서 부교재 삼아 풀어보는 것을 추천합니다.
2.1. 쉬운 개념서
2.1.1. 개념원리
꼼꼼하고 자세하게 설명되어 있어 베이스 확실히 챙기기는 좋습니다. 하지만 양이 겁나 많습니다. 이 때문에 스스로 생각하는 습관을 들이지 않으면 수학이 암기 과목처럼 느껴질 수 있습니다.
2.1.2. 수학의 샘
수학의 정석과 비슷하게 생겼는데 내용은 조금 더 쉽고 접근성이 좋다고 생각합니다. 그런데 개념에 대한 자세한 설명 없이 공식만 주어져 있는 단원이 있어 공식 암기에 공부가 치중될 수 있습니다.
2.1.3. 개념 쎈 라이트
진짜 얇습니다. 짧고 빠르게 후루룩 넘기기 좋습니다.
2.1.4. 개념 PLUS 유형
개념이랑 유형 한번에 챙기기 좋으나 난이도 편차가 많이 좁아 거기서 거기인 느낌입니다.
2.2. 어려운 개념서
2.2.1. 수학의 정석
가독성이 진짜 별로입니다. 문제 풀 공간도 없습니다. 옛날 일본 수학책 번역해서 그대로 베낀 책이라는 이야기도 있지만 내용은 풍부하고 깊게 파고들기 좋은 책이라 생각합니다.
2.2.2. 블랙라벨
얇아서 풀기 쉬울 것 같지만 STEP A부터 막힙니다. 굳이 비교하자면 쎈 STEP B 어려운 문제나 STEP C 쉬운 문제들이 블랙라벨 STEP A 문제 난이도라고 봅니다. 하지만 제대로 풀면 실력이 수준급으로 올라가기 좋은 책입니다. 큰 마음 먹고 도전해야하는 책입니다.
2.2.3. 일품
블랙라벨보다는 쉽지만 쉬운 개념서들 보다는 어렵습니다. 제 기준에는 공부하기 적당했다고 느꼈지만 수포자가 무턱대고 시작하기에는 쉽지 않을 것입니다.
2.2.4. 일등급 수학
문제 난이도가 수능 4점짜리 기출은 아니지만 그 정도 난이도의 문제들을 모아놓은 것 같습니다.
2.2.5. 수학의 바이블
제 개인적으로 책 구성이 괜찮다고 생각합니다. 깔끔하고 딱 필요한 것만 넣은 느낌. 그렇게 쉬운 것도 아니지만 그렇다고 막 그렇게 어렵지도 않습니다. 기간을 살짝 길게 잡고 여유롭게 그리고 꼼꼼히 본다면 개념 정리에 도움이 될 것이라 생각합니다.
2.3. 쉬운 유형서
2.3.1. 개념원리 RPM
무슨 유형인지 다 정리되어 있고 책 크기도 커서 마음껏 쓸 수 있습니다. 양도 적당합니다. 개념원리 개념서와 호환이 잘 맞추어져 있기 때문에 개념원리와 같이 세트로 공부할 학생은 이 책을 가지고 문제를 풀어보시면 됩니다.
2.3.2. 라이트 쎈
얇습니다. 솔직히 너무 얇아서 진짜 일주일만 잡고 풀 수 있을 정도입니다. 난이도는 개념원리보다는 살짝 어렵고 일품보다는 살짝 쉽습니다.
2.3.3. EBS 올림포스
ebs 인강 들을 것 같으면 부교재로 같이 풀어보는 것도 괜찮다고 생각합니다.
2.4. 어려운 유형서
긴 말하지 않겠습니다. 마플, 숨마쿰라우데, 자이스토리 이거 3개입니다.
난이도와 양으로 조져버리는 미친 책입니다. 이건 정말 수학 공부 수준급으로 하는 학생들도 힘들어 하는 책입니다. 진짜 제대로 할 거 아니면 사지마세요.
3. 효과적인 공부법을 소개합니다.
사실 공부법이라는건 세상에 존재하지 않습니다. 왜냐면 사람들은 개인별로 스타일이 다 다르고 결국은 자신에게 맞는 방법을 찾는 것이 제일 중요합니다. 하지만 인서울 대학을 간 제 친구들과 그리고 제가 수학을 공부하면서 가졌던 자세들에 대해 풀어볼까 합니다. 도움이 되길 바랍니다.
3.1. 개념을 공부할 때
3.1.1. 개념서에 등장하는 키워드
개념은 누군가에게 설명할 수 있을 정도로 정확히 이해해야 합니다. 먼저 개념 공부를 할 때 저는 키워드를 먼저 찾았다. 예를 들면 ‘근의 공식’, ‘켤레복소수’, ‘무게중심’ 등과 같은 단어들을 말합니다. 그리고 흰 백지에 키워드만 적고 내가 그 키워드를 자연스럽게 연계시켜가며 설명할 수 있을 정도로 완벽하게 이해해야 합니다.
직선의 방정식 → 기울기와 한 점의 좌표 → y=mx+n → m은 기울기, n은 y절편 → x절편은 y=0 대입 → …
간단하게 예시를 들어봤습니다. 굳이 한 방향이 아닌 여러 방향의 마인드맵을 그려가면서 여러분만의 수학 세계관을 확립하고 정리해야 합니다.
3.1.2. 수학에서 나오는 정리를 증명
저는 수학에서 나오는 ‘정리’들을 증명할 수 있어야 한다고 생각합니다. 예를 들면 피타고라스의 정리가 왜 성립하는지 누군가에게 증명할 수 있어야 합니다.
아니... 개념을 공부하라면서 증명까지 알아야 하는 이유가 뭐지?
물론 이렇게 생각할 수 있습니다. 하지만 증명을 알아야 하는 이유에 대해 이야기 하겠습니다.
대표적인 증명 방법인 수학적 귀납법에 대한 문제입니다. 증명을 할 줄 모르면 당연히 풀 수 없습니다. 그리고 증명을 하는 행위 자체가 우리가 알고 있는 수학적 정의를 가지고 새로운 하나의 정리를 만드는 것이고 이는 문제를 푸는 과정과 매우 흡사합니다.
그리고 더욱 강조하고 싶은 점은 증명 과정의 일부를 문제를 푸는 도구로 쓸 수 있다는 것입니다.
증명의 중요성을 알고 있었던 저는 개념서에 나오는 모든 정리들을 유형 문제 풀기 전에 한 번 이상은 모두 증명하면서 공부했습니다. 이 방법으로 모의고사는 항상 수학 1등급 나왔습니다. 증명을 못하면 어떡할까 고민하지 마세요. 증명을 어떻게 할지 모르겠으면 구글에 검색해보고 찾아보세요. 그리고 찬찬히 읽어보면서 머릿속으로 단계별로 천천히 이해한 뒤 빈 종이에 다시 혼자서 증명해보세요. 외우는 것이 아닙니다. 어떤 단계를 거쳐야 하는지 생각을 하셔야 합니다.
3.2. 문제를 풀 때
3.2.1. 답지와 타이머를 활용
저는 문제를 풀 때 절대 답지를 보지 않았습니다. 하지만 답지를 보지 않는 방법은 수학 공부를 오래 했거나 고민하고 생각하는 과정을 쉽게 혹은 즐겁게 할 수 있을 때 좋은 방법입니다. 수포자 학생이거나 수학 공부가 힘든 학생들은 처음부터 답지를 보지 않고 공부를 하면 안됩니다.
문제를 풀 때 타이머를 꼭 챙기시고 한 문제당 타이머를 5분으로 설정하세요. 5분 동안 안 풀리는 문제를 고민할 바에는 빨리 답지를 보고 이해를 한 뒤 (풀이를 외우는 것이 아니라 왜 이 과정을 나왔는지를 생각해야 합니다.) 답지를 덮고 다시 풀어봐야 합니다. 그렇게 해도 못 풀겠으면 다시 답지를 보고 문제에 별표를 치고 넘깁니다. 그리고 다음 날에 별표 친 문제들을 똑같은 방법으로 풀어보세요.
3.2.2. 모의고사 3~4등급 정도가 나온다면
위처럼 계속 공부하다보면 3등급까지는 무조건 오릅니다. 조금 더 욕심이 나면 준킬러, 킬러와 같은 4점짜리 문제를 도전해보고 싶을 수도(?) 있는데 만약 그 단계까지 올라갔다면 다음과 같이 공부하세요.
준킬러, 킬러를 일단 찔러보세요. 당연히 안됩니다. 되면 뭐 좋은거지만 안되는 문제는 5분 딱 고민하고 답지를 펴세요. 이때, 풀이를 전부 읽지 말고 첫 줄만 읽은 뒤에 다시 생각하세요. 왜 어려운 문제는 이렇게 공부를 하냐. 바로 생각하는 방법을 익히기 위함입니다. 첫 줄만 읽는 이유는 방향성을 잡기 위해서 입니다. '왜 이 답지가 여기서부터 시작하지?'라고 고민하기 시작하는 게 수학적 사고력을 키우는 첫걸음입니다.
그리고 매일 화장실에서, 쉬는 시간마다 어떻게 풀면 좋을지 그 한 문제에 대해 머릿속으로 고민해보세요. 이것은 잠재적인 수학적 능력을 키우는 과정입니다. 분명히 풀이의 첫 줄을 읽고 나서 아 될 것 같은데 조금만 더 하면 될 것 같은데 라는 생각이 들 때가 있는데 그 때 포기하지말고 펜을 쓰지 않아도 좋으니 머릿속으로 계속 곰곰이 생각하세요. 그 과정이 계속되면 무의식에서 수학적 사고력은 심해의 빙산같은 느낌처럼 더욱 커질 것입니다. 너무 두리뭉실하고 터무니 없는 이야기처럼 느껴질 수 있습니다. 그래도 한 번만 믿고 이 방법을 해보세요. 한 문제당 일주일씩 잡고 고민하면 딱 맞습니다. 마지막 날에 정 안되겠으면 풀이를 읽고 차근차근 정리를 하는 것이 중요합니다.
3.2.3. 오답노트는 쓰지 마세요.
이건 또 무슨 말인가 싶으시죠? 오답노트를 쓰지 말라는 파격적인 이야기를 해보겠습니다.
오답노트 쓴다고 풀이 베껴 쓰고 문제 적고 하는거 시간 낭비입니다. 차라리 책에 풀이를 적지 말고 노트에다가 따로 푸세요. 책에는 맞았는지 틀렸는지 체크만 하세요. 그렇다고 또 동그라미 줄긋기 크게 하지 말고 체크만 살짝 해라는 말입니다. 왜 이렇게 하냐면 책 깨끗하게 오래보고 그런 것도 있는데 틀린 문제만 다시 확인하면 되기 때문에 풀이가 책에 보이면 다시 풀 때 거슬립니다. 그리고 맞춘 문제를 또 풀 필요가 없기 때문에 시간 절약에도 도움됩니다.
3.2.4. 수학 문제 잘 푸는 친구들의 공통점
이건 공부법하고는 상관 없는 이야기일 수 있습니다. 하지만 강조는 해야할 것 같아서 언급합니다. 문제를 잘 푸는 친구들은 풀이 과정이 한 눈에 명확하게 파악됩니다. 수포자 학생인 여러분이 하셔야 할 것은 줄이 있는 노트를 사서 풀이의 식을 깔끔하게 적는 연습을 해야합니다. 이건 서술형 대비만 해당하는 문제가 아닙니다. 답지와 여러분이 쓴 풀이를 비교하면서 어떤 부분이 비슷했고 어떤 부분에서 잘못됐는지 명확하게 비교하려면 중구난방식으로 적지 말고 제발 노트에 깔끔하게 쓰는 연습을 하세요. 진짜 이건 제가 당부합니다.
깔끔한 세 줄 요약
1. 강의는 맛보기를 들어보시면서 스스로에게 맞는 강의를 들으세요.
2. 교재도 서점가서 직접 구매하시고 개념 공부를 하시면서 여러분만의 개념 노트를 만드세요.
3. 한 문제 당 5분 잡으시고 안 풀리면 답지 보시고 다시 푸세요.
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