왓수의 매쓰토리

교육부 선정 수학 킬러 3문항 분석

왓수 Whatsoo — Thu, 29 Jun 2023 14:00:15 +0900

교육부 선정 수학 킬러 3문항 분석

교육부가 지적한 수능 킬러문항

며칠 전 교육부에서 수능 킬러문항에 대하여 국어, 수학, 영어 세 과목의 예시를 공개하였죠.

교육부는 킬러문항을 공교육에서 다루지 않는 내용을 가지고 사교육에서 배운 문제풀이 기술을 공부한 학생들에게 유리한 문항으로 정의했습니다.

특히 수학의 경우 일부 문제는 여러 개의 수학적 개념을 결합하여 과도하게 복잡한 사고 또는 고차원적인 해결 방식을 가져야 풀 수 있다고 이야기했는데요.

또한, 고급 수학이나 대학 과정 등을 학원에서 미리 선행학습한 학생은 출제자가 기대하는 풀이 방법이 아닌 다른 방법으로도 문제를 해결할 수 있어 유불리를 발생시키는 문제도 있었다고 지적했습니다.

자 그렇다면 진짜 앞서 말한 지적이 맞는지 확인해볼까요? 스포를 하자면 저는 그렇게 생각하지 않습니다.

2024학년도 6월 모의평가 공통 21번

이 문제를 분석해볼까요? 아마 많은 학생들이 이 문제를 보고 당황한 이유는

명제의 등장

이 부분 때문이었을 겁니다. 문제에서 A+B+C의 값을 구해라고 했죠. 즉 이 문제의 답은 011, 101, 001, 111과 같은 0과 1로 이루어진 세 자리 자연수의 형태를 가지고 있는 것입니다.

평가원에서 이렇게 출제한 이유는 ㄱ, ㄴ, ㄷ 선택 객관식 문제를 풀 때 명제의 참거짓을 모두 판별하지 않고 일부만 푼 뒤 보기에 끼워맞추어 찍고 넘어가는 경우가 많았기 때문에 이번에는 그런 식으로 출제하지 않겠다고 생각한 것으로 예상됩니다. 하지만 정부에서는 다음과 같이 주장하고 있습니다.

[교육부가 킬러문항으로 선정한 이유]

정답률을 낮추기 위해 일반적으로 ㄱ, ㄴ, ㄷ 중 옳은 것을 모두 찾는 객관식 유형의 문제를 단답형 주관식 문항으로 제시하였으며, 이 과정에서 불필요하게 명제의 개념을 도입하여 수험생의 실수를 유발할 수 있음

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명제의 개념을 도입하여 수험생의 실수를 유발한다라... 명제도 모르는 학생이 대학에 입학하는 게 맞는건가... 저는 그렇게 생각합니다. 오히려 이런 방식으로 출제할 수 있다는 평가원의 배려라고 생각했는데 명제를 도입하여 수험생의 실수를 유발한다는 말은 여러 의미로 잘못되었다고 생각합니다.

명제가 교육과정 외 내용인가요? 그렇지도 않습니다. 고등학교 수학(하), 즉 1학년 때 배우는 내용입니다. 당연히 출제할 수 있죠. 저는 이러한 시스템을 단답형에 도입했다는 점에서 참신한 아이디어라고 생각하고 오히려 정확하게 풀고 넘어가라는 평가원의 의도가 충분히 담겨져 있어 훌륭한 문제라고 생각합니다.

2024학년도 6월 모의고사 공통 22번

[교육부가 킬러문항으로 선정한 이유]

다항함수의 도함수, 함수의 극대·극소, 함수의 그래프 등 3가지 이상의 수학적 개념이 결합되어 문제해결 과정이 복잡하고 상당히 고차원적인 접근방식을 요구하며, 일반적인 공교육 학습만으로 이러한 풀이 방법을 생각해내기에는 어려움이 있을 수 있음

저는 사실 이것도 이해가 안되는게 왜 여러 수학적 개념이 결합되면 안되는건가요? 여러가지 수학적 도구를 생각하여 문제를 해결하는 게 나쁜건가요? 당연히 변별력이 있게 내려면 어려움이 있어야 하는 거지 않습니까?

일반적인 공교육 학습만으로 풀이 방법을 생각해내기 어렵다는데

공교육의 질을 올릴 생각을 하셔야지 공교육으로 안되니깐 문제를 쉽게 내라고 하는 패배자적인 마인드는 바르지 않다고 생각합니다.

그리고 현재 공교육만으로도 풀이는 가능합니다.

네모 박스 안의 지문을 읽었을 때 당연히 공부를 한 사람이라면 평균값 정리를 머릿속에 떠올려야 합니다. 왜냐?

지학사 수2 교과서 일부

교과서 일부의 내용입니다. 떡하니 써져 있습니다. 평균변화율 식의 형태가 그래도 교과서에 있죠. 지금 문제에 나온 두 평균변화율의 곱이 음수라는 것은 두 순간변화율의 곱이 음수가 되게 하는 x의 값이 존재함을 말하는 겁니다.

이걸 왜 못 떠올린다는 말입니까? 애초에 저런 식의 형태를 포함한 단원이 평균변화율과 미분계수, 평균값 정리 이 두 단원에서만 나타납니다. 애초에 이 두 단원을 제대로 공부했어도 풀이를 위한 첫 단추를 잘 꾸려나갈 수 있었을 것입니다.

제가 주장하는 건 이겁니다.

문제의 질을 낮출 생각을 하지 말고 공교육의 질을 높일 생각을 해라

근데 공교육의 질이 낮냐? 그것도 아니다.

그럼 왜 이걸 도대체 킬러 문항을 선정한 것이며 평가원장은 이 때문에 왜 경질을 당했어야 하나?

아무튼 이해하기 힘든 발표입니다.

2024학년도 6월 모의고사 미적분 30번

[교육부가 킬러문항으로 선정한 이유]

등비수열 등 여러 가지 수열의 일반항 및 합, 등비급수 등 다수의 수학적 개념이 결합되어 문제해결 과정이 복잡하고 상당히 고차원적인 접근방식을 요구하며, 일반적인 공교육 학습만으로 이러한 풀이 방법을 생각해내기에는 어려움이 있을 수 있음

22번 문제와 마찬가지로 다양한 수학적 개념을 요하는 문제인 건 맞습니다만 왜 이게 잘못되었는지도 모르겠고 직접 풀어본 결과 공비의 범위만 조건을 만족하도록 잘 설정하면 쉽게 풀리는 문제였다고 생각합니다.

수능이 무언가 잘못되어가고 있다.

교육부의 발표에 굉장한 유감을 표하는 바입니다. 올해 3월 모의고사와 6월 모의고사를 다 풀어본 저로써는 굉장히 이번에 밸런스를 비롯하여 문제의 퀄리티가 우수하다고 생각하는 와중에 정부에서 이런 결정을 하고 수능을 준비하는 수험생들에게 갑작스러운 변화를 주어 혼란을 야기한다는 점에서는 굉장히 안타까운 상황이라고 생각합니다. 근본적인 원인을 해결하는데 집중하는 대한민국이 되었으면 하는 바람이네요. 수험생 여러분들은 기죽지 마시고 당황하지 마시고 본인이 하는 길에 집중하여 좋은 성과를 이루어내길 바랍니다. 공부는 배신하지 않는다고 생각합니다. 쉽게 나오겠지 하는 안일한 생각은 버리시고 꾸준히 공부하시길 바랍니다.

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이차방정식 근의 공식 완벽 이해

왓수 Whatsoo — Sun, 18 Jun 2023 22:11:50 +0900

근의 공식 완벽 이해

1. 근의 공식이란?

중학교에서 공부를 했던 사람이라면 한 번씩은 꼭 들어봤을 법한 근의 공식, 알고 계신가요? 근의 공식은 이차방정식의 근를 구하고 싶을 때 이차방정식의 각 항의 계수를 이용하여 근을 구하는 공식을 말합니다.

이차방정식 근의 공식

위의 식은 우리가 잘 알고 있는 이차방정식의 근의 공식이죠. 이때 혹시나 이해하기 힘든 분들을 위해 어떤 방식으로 적용이 되는 것인지 아래에 예시를 적어보겠습니다.

이차방정식 근의 공식 적용 예시

자 그렇다면 이번 포스트에서는 이차방정식의 근의 공식이 왜 저런 복잡한 형태를 가지고 있는지 이차방정식을 해결하기 위해 어떤 방식을 가지고 해결하는지 자세히 알아보는 시간을 가져보도록 하겠습니다.

2. 근의 공식을 이해하기 위해 알아야 할 것들

이차방정식의 근의 공식을 제대로 이해하기 위해서는 알고 있어야 하는 중학교 수준의 수학 개념이 있습니다.

2.1. 제곱근

거듭제곱은 알고 계실거라 생각합니다.

같은 수를 2번 곱하는 것을 거듭제곱이라고 하죠. 그럼 거꾸로 생각해봅시다.

어떤 수를 제곱했을 때 16이 되게 하는 x는 무엇이 있을까요? 4를 생각하셨다고요? 물론 그것도 틀린 건 아닙니다. 하지만 -4도 제곱하면 16이 되죠? 이 부분을 조심해야 합니다.

결론적으로 제곱근이란 제곱하면 a가 되는 수를 a의 제곱근이라고 합니다. 식으로 다시 쓰면

이렇게 정리할 수 있겠네요.

2.2. 완전제곱식

완전제곱식이란 다항식의 제곱으로 된 식 또는 다항식의 제곱에 상수를 곱한 식을 말합니다.

위와 같은 식들을 완전제곱식이라고 합니다. 그렇다면 이번에도 거꾸로 생각해봅시다.

위 식을 완전제곱식으로 바꾸려면 어떻게 해야할까요?

먼저 x²의 계수가 1이므로 완전제곱식의 형태는 아래처럼 될 것입니다.

숫자를 모르니 상수 a, b로 나타내었습니다. 위 식을 전개해보면

가 됩니다. 그렇다면 이 식이 주어진 식과 같아야겠죠?

정리하면 위 등식이 성립해야겠습니다. 즉, x의 계수와 상수항끼리 같아야 함을 의미하죠.

이렇게 정리할 수 있습니다. a는 3이 되고 b는 -9가 되겠네요.

완전제곱식으로 바꾼 결과입니다. 여러분은 이 예시에서 어떠한 메커니즘을 찾으셨나요?

제가 노란색으로 강조한 단계에서 이해해야할 중요한 점은

이차식을 완전제곱식으로 바꾸기 위해서는 x의 계수의 절반을 제곱한 수를 더하고 뺀다는 것입니다.

주어진 예시에서 x의 계수는 6이었습니다. 6으로 절반으로 나누면 3이 되죠. 3을 제곱하면 9가 됩니다.

그래서 원래 식에 9를 더하고 빼주면 식을 이렇게 바꿀 수 있겠죠?

이런 과정을 거쳐 완전제곱식을 만든다는 것을 이해했다면 근의 공식 증명의 준비는 끝났습니다.

3. 근의 공식 증명

이제 본격적으로 증명하겠습니다. 이차방정식의 근을 구하는 근의 공식이 어떻게 나오는지 지켜보세요.

이차방정식이 있습니다. 양변을 a로 나누겠습니다. (이차방정식이니 당연히 a는 0이 아니겠죠?)

자 그럼 이제 제곱근에서 배운 원리를 적용시키기 위해 위의 식을 완전제곱식으로 바꾸어 보겠습니다.

x의 계수의 절반을 제곱한 값을 더하고 빼는 거 잊지 않으셨죠?

완전제곱식으로 보기 좋게 변형해볼게요.

이제 제곱근의 정의를 가지고 양변에 루트를 씌워보겠습니다.

양변에 -b/2a를 더하면

이차방정식 근의 공식

우리가 알고 있는 근의 공식을 증명했습니다.

4. 근의 공식 정리

어떠신가요? 생각보다 그렇게 어렵지 않죠? 근의 공식은 제곱근와 완전제곱식이라는 개념을 제대로 이해하고 활용한다면 이차방정식의 해를 간단하게 구할 수 있습니다. 단순히 근의 공식을 암기하는 것이 아니라 구조를 이해하고 증명 과정을 찬찬히 살펴본다면 수학이 여러분에게 그렇게 어려운 과목은 아니게 느껴질 것이라 자부합니다! 이번 포스트는 여기서 마무리하고 더 많은 수학 소식과 여러 증명, 활용 등을 익히고 싶다면 왓수의 매쓰토리를 구독해주시고 많이 들어와주세요 감사합니다 :)

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수포자를 위한 효과적인 수학 공부법

왓수 Whatsoo — Sat, 17 Jun 2023 21:48:41 +0900

안녕하세요. 왓수입니다.

저는 고등학교 수학 교육과정을 초등학교 5학년 때부터 시작하여 지금까지 학생들의 교육을 위해 공부하고 있는 24살 대학생입니다. 수많은 학생을 만나 과외를 통해 가르치고 동네 학원에 10개월 동안 정규 강사로 활동하면서 수많은 수포자 학생들을 만났고 이 학생들을 성장시키기 위해 어떻게 가르칠지 공부법에 대해 고민하고 연구하면서 수학 공부를 할 때 제가 가졌던 습관들 그리고 어떤 마음을 가지고 공부에 임해야 하는지 깊게 생각했습니다.

실제로 제 덕에 수학 내신이 6등급이던 모 학생은 학교에서 1등급을 받았고 7등급이 나오던 모 학생은 확률과 통계 파트 공부를 처음부터 단추를 잘 끼워 공부한 덕에 공부를 하지 않아도 1등급이 나올 정도로 실력을 키웠습니다.

아래 사진은 학원에서 가르친 학생과의 인스타그램 DM입니다. 지금은 친한 형, 동생 사이로 잘 지내고 있습니다.

아까 말한 확률과 통계를 제대로 공부한 학생이 이 친구입니다. 제가 지금 이야기할 이 공부법들을 제대로 수행한 덕에 공부를 아예 못하던 학생도 자신이 할 수 있는 사람이라는 걸 스스로 깨닫게 되었고 지금은 자기가 원하는 대학과 원하는 학과에 장학금까지 받으면서 행복하게 지내고 있습니다.

그럼 지금부터 시작할 수학 공부법 포스트를 꼭 꼼꼼하게 읽고

여러분의 수험 생활에 도움이 되길 바랍니다!

1. 만약 인터넷 강의를 들을 것이라면

1.1. EBS "50일 수학"

수학은 정말 단계적인 학문입니다. 초등학교 수학이 되지 않으면 중학교 수학이 안되고 중학교 수학이 안되면 고등학교 수학이 안됩니다. 몇몇 학생들은 착각을 합니다.

어차피 미적분이나 확률과 통계는 고1 과정이랑 연관도 크게 없어 보이는데 따로 시작해도 괜찮지 않을까?

답변을 하자면 절대 아닙니다.

그런 식으로 공부하면 간단한 계산 문제는 풀 수 있을지 몰라도 고난도 유형이나 수능 4점 문제는 절대 풀 수 없습니다. 대부분의 고난도 문제는 미적분이면 미적분, 확통이면 확통 안에서만 나오는 게 아니라 예를 들면 직선의 방정식에 등장하는 내분점, 외분점과 함수의 극한이 결합된 문제처럼 중학교 또는 고등학교 1학년 수학 과정과 연결시켜 문제를 출제합니다. 그리고 개념 이해를 위해서라도 기본적인 내용은 정확히 알고 있어야 합니다.

즉, 처음에 시작하는 베이스를 튼튼하게 깔 필요가 있는데 이에 효과적인 인터넷 강의는 정승제 강사님의 50일 수학은 짧고 빠르게 베이스를 다지고 시작할 수 있는 좋은 도구라고 생각합니다.

EBS 50일 수학

시간이 너무 부족하다면 어쩔 수 없지만 회생할 수 있는 시간이 남아 있다면 급하게 할 필요 없으니 50일 수학 강의를 이해할 때까지 반복하는 것을 추천합니다.

1.2. 유튜브를 활용하자.

유튜브에 고1 수학을 검색하고 필터를 재생목록으로 설정하면 나오는 화면

50일 수학으로도 충분하겠지만 정말 EBS 강의로도 뭔가 잘 안되는 것 같고 계정 만드는 것조차 귀찮다면 유튜브에 고1 수학을 검색하고 필터를 가지고 재생목록을 검색해보세요. 모두 무료에다가 여러 강의가 있어서 몇 개 들어보고 자신에게 맞는 채널을 찾아 들으면 됩니다.

1.3. 인터넷 강의 사이트 - Megastudy, 대성마이맥, 이투스 등

어느 정도 실력이 쌓였다고 판단되면 유명 인강 사이트에서 강의하는 강좌를 수강하여 들어도 좋습니다. 여기서 실력이 쌓였다의 기준은 모의고사를 쳤을 때 시간 내에 내가 모든 문제를 손댈 수 있다는 수준을 말합니다. (푸는 것이 아니라 손은 댈 수 있을 정도, 아예 몰라서 문제를 넘기는 게 아니라 끄적일 수는 있을 정도면 충분합니다.)

2. 교재는 무엇을 사야할까

인터넷 강의 교재는 당연히 있어야지 그걸 풀면서 공부를 하는거고 충분히 시간이 남고 인강 교재를 해낼 수 있는 정도가 되면 부교재라는 것을 사서 다른 유형의 문제를 접해보고 경험하는 것도 굉장히 중요합니다. 개념을 정확히 아는 것도 중요하지만 내가 알고 있는 것을 적용할 수 있는지 파악하는 것도 개념 못지 않게 중요합니다.

교재는 보통 개념서, 유형서로 나뉩니다. 개념은 인강을 통해서 기초부터 쌓도록 하고 인강 교재로 개념을 이해했다고 생각해보면 유형서를 사서 부교재 삼아 풀어보는 것을 추천합니다.

2.1. 쉬운 개념서

2.1.1. 개념원리

개념원리

꼼꼼하고 자세하게 설명되어 있어 베이스 확실히 챙기기는 좋습니다. 하지만 양이 겁나 많습니다. 이 때문에 스스로 생각하는 습관을 들이지 않으면 수학이 암기 과목처럼 느껴질 수 있습니다.

2.1.2. 수학의 샘

수학의 샘

수학의 정석과 비슷하게 생겼는데 내용은 조금 더 쉽고 접근성이 좋다고 생각합니다. 그런데 개념에 대한 자세한 설명 없이 공식만 주어져 있는 단원이 있어 공식 암기에 공부가 치중될 수 있습니다.

2.1.3. 개념 쎈 라이트

개념 쎈 라이트

진짜 얇습니다. 짧고 빠르게 후루룩 넘기기 좋습니다.

2.1.4. 개념 PLUS 유형

개념 PLUS 유형

개념이랑 유형 한번에 챙기기 좋으나 난이도 편차가 많이 좁아 거기서 거기인 느낌입니다.

2.2. 어려운 개념서

2.2.1. 수학의 정석

수학의 정석

가독성이 진짜 별로입니다. 문제 풀 공간도 없습니다. 옛날 일본 수학책 번역해서 그대로 베낀 책이라는 이야기도 있지만 내용은 풍부하고 깊게 파고들기 좋은 책이라 생각합니다.

2.2.2. 블랙라벨

블랙라벨

얇아서 풀기 쉬울 것 같지만 STEP A부터 막힙니다. 굳이 비교하자면 쎈 STEP B 어려운 문제나 STEP C 쉬운 문제들이 블랙라벨 STEP A 문제 난이도라고 봅니다. 하지만 제대로 풀면 실력이 수준급으로 올라가기 좋은 책입니다. 큰 마음 먹고 도전해야하는 책입니다.

2.2.3. 일품

일품

블랙라벨보다는 쉽지만 쉬운 개념서들 보다는 어렵습니다. 제 기준에는 공부하기 적당했다고 느꼈지만 수포자가 무턱대고 시작하기에는 쉽지 않을 것입니다.

2.2.4. 일등급 수학

일등급 수학

문제 난이도가 수능 4점짜리 기출은 아니지만 그 정도 난이도의 문제들을 모아놓은 것 같습니다.

2.2.5. 수학의 바이블

수학의 바이블

제 개인적으로 책 구성이 괜찮다고 생각합니다. 깔끔하고 딱 필요한 것만 넣은 느낌. 그렇게 쉬운 것도 아니지만 그렇다고 막 그렇게 어렵지도 않습니다. 기간을 살짝 길게 잡고 여유롭게 그리고 꼼꼼히 본다면 개념 정리에 도움이 될 것이라 생각합니다.

2.3. 쉬운 유형서

2.3.1. 개념원리 RPM

개념원리 RPM

무슨 유형인지 다 정리되어 있고 책 크기도 커서 마음껏 쓸 수 있습니다. 양도 적당합니다. 개념원리 개념서와 호환이 잘 맞추어져 있기 때문에 개념원리와 같이 세트로 공부할 학생은 이 책을 가지고 문제를 풀어보시면 됩니다.

2.3.2. 라이트 쎈

라이트 쎈

얇습니다. 솔직히 너무 얇아서 진짜 일주일만 잡고 풀 수 있을 정도입니다. 난이도는 개념원리보다는 살짝 어렵고 일품보다는 살짝 쉽습니다.

2.3.3. EBS 올림포스

EBS 올림포스

ebs 인강 들을 것 같으면 부교재로 같이 풀어보는 것도 괜찮다고 생각합니다.

2.4. 어려운 유형서

긴 말하지 않겠습니다. 마플, 숨마쿰라우데, 자이스토리 이거 3개입니다.

난이도와 양으로 조져버리는 미친 책입니다. 이건 정말 수학 공부 수준급으로 하는 학생들도 힘들어 하는 책입니다. 진짜 제대로 할 거 아니면 사지마세요.

3. 효과적인 공부법을 소개합니다.

사실 공부법이라는건 세상에 존재하지 않습니다. 왜냐면 사람들은 개인별로 스타일이 다 다르고 결국은 자신에게 맞는 방법을 찾는 것이 제일 중요합니다. 하지만 인서울 대학을 간 제 친구들과 그리고 제가 수학을 공부하면서 가졌던 자세들에 대해 풀어볼까 합니다. 도움이 되길 바랍니다.

3.1. 개념을 공부할 때

3.1.1. 개념서에 등장하는 키워드

개념은 누군가에게 설명할 수 있을 정도로 정확히 이해해야 합니다. 먼저 개념 공부를 할 때 저는 키워드를 먼저 찾았다. 예를 들면 ‘근의 공식’, ‘켤레복소수’, ‘무게중심’ 등과 같은 단어들을 말합니다. 그리고 흰 백지에 키워드만 적고 내가 그 키워드를 자연스럽게 연계시켜가며 설명할 수 있을 정도로 완벽하게 이해해야 합니다.

직선의 방정식 → 기울기와 한 점의 좌표 → y=mx+n → m은 기울기, n은 y절편 → x절편은 y=0 대입 → …

간단하게 예시를 들어봤습니다. 굳이 한 방향이 아닌 여러 방향의 마인드맵을 그려가면서 여러분만의 수학 세계관을 확립하고 정리해야 합니다.

3.1.2. 수학에서 나오는 정리를 증명

저는 수학에서 나오는 ‘정리’들을 증명할 수 있어야 한다고 생각합니다. 예를 들면 피타고라스의 정리가 왜 성립하는지 누군가에게 증명할 수 있어야 합니다.

아니... 개념을 공부하라면서 증명까지 알아야 하는 이유가 뭐지?

물론 이렇게 생각할 수 있습니다. 하지만 증명을 알아야 하는 이유에 대해 이야기 하겠습니다.

2013년 9월 기출

대표적인 증명 방법인 수학적 귀납법에 대한 문제입니다. 증명을 할 줄 모르면 당연히 풀 수 없습니다. 그리고 증명을 하는 행위 자체가 우리가 알고 있는 수학적 정의를 가지고 새로운 하나의 정리를 만드는 것이고 이는 문제를 푸는 과정과 매우 흡사합니다.

그리고 더욱 강조하고 싶은 점은 증명 과정의 일부를 문제를 푸는 도구로 쓸 수 있다는 것입니다.

증명의 중요성을 알고 있었던 저는 개념서에 나오는 모든 정리들을 유형 문제 풀기 전에 한 번 이상은 모두 증명하면서 공부했습니다. 이 방법으로 모의고사는 항상 수학 1등급 나왔습니다. 증명을 못하면 어떡할까 고민하지 마세요. 증명을 어떻게 할지 모르겠으면 구글에 검색해보고 찾아보세요. 그리고 찬찬히 읽어보면서 머릿속으로 단계별로 천천히 이해한 뒤 빈 종이에 다시 혼자서 증명해보세요. 외우는 것이 아닙니다. 어떤 단계를 거쳐야 하는지 생각을 하셔야 합니다.

3.2. 문제를 풀 때

3.2.1. 답지와 타이머를 활용

저는 문제를 풀 때 절대 답지를 보지 않았습니다. 하지만 답지를 보지 않는 방법은 수학 공부를 오래 했거나 고민하고 생각하는 과정을 쉽게 혹은 즐겁게 할 수 있을 때 좋은 방법입니다. 수포자 학생이거나 수학 공부가 힘든 학생들은 처음부터 답지를 보지 않고 공부를 하면 안됩니다.

문제를 풀 때 타이머를 꼭 챙기시고 한 문제당 타이머를 5분으로 설정하세요. 5분 동안 안 풀리는 문제를 고민할 바에는 빨리 답지를 보고 이해를 한 뒤 (풀이를 외우는 것이 아니라 왜 이 과정을 나왔는지를 생각해야 합니다.) 답지를 덮고 다시 풀어봐야 합니다. 그렇게 해도 못 풀겠으면 다시 답지를 보고 문제에 별표를 치고 넘깁니다. 그리고 다음 날에 별표 친 문제들을 똑같은 방법으로 풀어보세요.

3.2.2. 모의고사 3~4등급 정도가 나온다면

위처럼 계속 공부하다보면 3등급까지는 무조건 오릅니다. 조금 더 욕심이 나면 준킬러, 킬러와 같은 4점짜리 문제를 도전해보고 싶을 수도(?) 있는데 만약 그 단계까지 올라갔다면 다음과 같이 공부하세요.

준킬러, 킬러를 일단 찔러보세요. 당연히 안됩니다. 되면 뭐 좋은거지만 안되는 문제는 5분 딱 고민하고 답지를 펴세요. 이때, 풀이를 전부 읽지 말고 첫 줄만 읽은 뒤에 다시 생각하세요. 왜 어려운 문제는 이렇게 공부를 하냐. 바로 생각하는 방법을 익히기 위함입니다. 첫 줄만 읽는 이유는 방향성을 잡기 위해서 입니다. '왜 이 답지가 여기서부터 시작하지?'라고 고민하기 시작하는 게 수학적 사고력을 키우는 첫걸음입니다.

그리고 매일 화장실에서, 쉬는 시간마다 어떻게 풀면 좋을지 그 한 문제에 대해 머릿속으로 고민해보세요. 이것은 잠재적인 수학적 능력을 키우는 과정입니다. 분명히 풀이의 첫 줄을 읽고 나서 아 될 것 같은데 조금만 더 하면 될 것 같은데 라는 생각이 들 때가 있는데 그 때 포기하지말고 펜을 쓰지 않아도 좋으니 머릿속으로 계속 곰곰이 생각하세요. 그 과정이 계속되면 무의식에서 수학적 사고력은 심해의 빙산같은 느낌처럼 더욱 커질 것입니다. 너무 두리뭉실하고 터무니 없는 이야기처럼 느껴질 수 있습니다. 그래도 한 번만 믿고 이 방법을 해보세요. 한 문제당 일주일씩 잡고 고민하면 딱 맞습니다. 마지막 날에 정 안되겠으면 풀이를 읽고 차근차근 정리를 하는 것이 중요합니다.

3.2.3. 오답노트는 쓰지 마세요.

이건 또 무슨 말인가 싶으시죠? 오답노트를 쓰지 말라는 파격적인 이야기를 해보겠습니다.

오답노트 쓴다고 풀이 베껴 쓰고 문제 적고 하는거 시간 낭비입니다. 차라리 책에 풀이를 적지 말고 노트에다가 따로 푸세요. 책에는 맞았는지 틀렸는지 체크만 하세요. 그렇다고 또 동그라미 줄긋기 크게 하지 말고 체크만 살짝 해라는 말입니다. 왜 이렇게 하냐면 책 깨끗하게 오래보고 그런 것도 있는데 틀린 문제만 다시 확인하면 되기 때문에 풀이가 책에 보이면 다시 풀 때 거슬립니다. 그리고 맞춘 문제를 또 풀 필요가 없기 때문에 시간 절약에도 도움됩니다.

3.2.4. 수학 문제 잘 푸는 친구들의 공통점

이건 공부법하고는 상관 없는 이야기일 수 있습니다. 하지만 강조는 해야할 것 같아서 언급합니다. 문제를 잘 푸는 친구들은 풀이 과정이 한 눈에 명확하게 파악됩니다. 수포자 학생인 여러분이 하셔야 할 것은 줄이 있는 노트를 사서 풀이의 식을 깔끔하게 적는 연습을 해야합니다. 이건 서술형 대비만 해당하는 문제가 아닙니다. 답지와 여러분이 쓴 풀이를 비교하면서 어떤 부분이 비슷했고 어떤 부분에서 잘못됐는지 명확하게 비교하려면 중구난방식으로 적지 말고 제발 노트에 깔끔하게 쓰는 연습을 하세요. 진짜 이건 제가 당부합니다.

깔끔한 세 줄 요약

1. 강의는 맛보기를 들어보시면서 스스로에게 맞는 강의를 들으세요.

2. 교재도 서점가서 직접 구매하시고 개념 공부를 하시면서 여러분만의 개념 노트를 만드세요.

3. 한 문제 당 5분 잡으시고 안 풀리면 답지 보시고 다시 푸세요.

수포자 여러분에게 큰 도움이 되는 포스트가 되기를 기원합니다.

여러분도 할 수 있습니다. 포기하지 마세요.

왓수였습니다. 감사합니다.

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수학 문제 풀어주는 해외 사이트 TOP 3

왓수 Whatsoo — Fri, 16 Jun 2023 22:56:08 +0900

중학교 고등학교 과정의 수학을 15년 넘게 공부한 나는 당연히 수학 문제는 직접 풀지만 요즘은 프로그램이 아닌 사이트 자체 내에서 문제를 해결하는 훌륭한 사이트가 많이 있다고 해서 찾아봤다. 수학 문제 풀이에 힘이 드는 많은 학생들이 이용했을 때 활용도가 높을 것이라 예상하는 수학 문제 해결 사이트 3개를 직접 사용해 본 후기를 남겨본다.

1. Microsoft Math Solver

Microsoft Math Solver

Microsoft Math Solver는 수학 문제에 대한 단계별 해결 과정과 부연 설명을 제공하는 웹사이트다. 이 웹사이트는 동영상, 팁, 새로운 기능을 제공하며, 그래프를 그리고 추가 학습 자료 등으로 직접 풀어보면서 풀이를 연습할 수 있다. Microsoft Math Solver는 앱에서도 사용할 수 있어 문제 풀다가 막히는 계산이 있다면 폰으로 자유롭게 검색할 수 있다. 손으로 직접 적은 식도 인식을 하니 여간 유용하지 않을 수 없다.

Microsoft Math Solver 예제

이차방정식과 삼각함수 뿐만 아니라 다양한 식들을 바로 계산해준다. 수학 계산기 치고는 정말 많은 기능들을 제공한다.

이번에는 미적분 학생들이 많이 힘들어하는 적분 문제를 입력해봤다. 간단하게 1/x를 적분해보자.

Microsoft Math Solver 사용 화면

단순히 답만 내놓는 사이트들과는 달리 어떤 과정을 거쳐 답이 유도되는지 단계별로 풀이 과정을 설명한다. 약간 번역체인 것 같은 한국어는 살짝 아쉽지만 그래도 영 못 읽을 정도는 아니라서 차근차근 식을 해결하는데는 충분히 도움이 될 듯 하다.

그리고 추가로 그래프, 비슷한 문제를 직접 풀어볼 수 있는 퀴즈, 해결하는 과정을 담은 동영상과 비슷한 문제의 웹 검색 결과까지 제공한다. 추가로 공부를 하고 싶은 학생이라면 다채롭게 활용하기에 좋은 도구다.

2. Symbolab Math Solver

Symbolab Math Solver

Symbolab은 단어 문제와 함수 및 방정식에 대한 단계별 솔루션을 제공하여 해결하는데 걸리는 과정들을 간소화하는 수학 도구다. 또한 기하 문제 풀이의 시각화와 여러 수학 정리들의 증명을 제공한다. Symbolab은 연습과 퀴즈를 제공하여 수학적 문제 해결 능력을 향상시키는 데 도움을 준다. 초등학교에서 배운 진분수를 비롯해 루트, 로그, 도함수, 복소수 등의 고등학교 수학까지 넓은 주제를 다룬다. Symbolab도 Microsoft와 마찬가지로 어플리케이션을 제공한다.

Symbolab Math Solver 사용 화면

Symbolab은 Microsoft와 다른 차별화된 점은 단계별로 풀이 과정을 원하는 만큼 볼 수 있다는 것이다. 문제를 풀다가 중간에 모르는 점이 있다면 중간 과정의 힌트를 보는 용도로 활용하면 좋을 것 같다. 한번에 풀이를 보게 하는 것이 아니라 원하는 만큼의 풀이를 보고 스스로 고민을 해보는 과정을 거치면서 수학적 사고력을 올릴 수 있다.

Symbolab Math Solver 기하학 사용 화면

게다가 놀랍게도 기하학 도구를 제공한다. 다양한 도형들을 그릴 수 있으며 GeoGebra 프로그램을 대체할 수 있을 만큼의 컨텐츠를 가지고 있다. 하지만 약간 아쉬운 점은 한국어 번역을 지원하지 않는다는 것이며 처음 사용하는 사람들이 쉽게 다루기 힘들다는 단점을 가지고 있다.

3. Cymath

Cymath

Cymath는 앞서 다룬 Microsoft와 Symbolab와 비슷한 기능을 가지고 있지만 단순한 인터페이스 덕에 처음 사용하는 사람들도 쉽게 다룰 수 있다는 장점을 가지고 있다. 마찬가지로 애플리케이션도 지원한다.

Cymath 화면

정말 단순하다. 처음 사이트에 들어가면 군더더기 없이 문제만 입력하는 칸이 있다. 여기에 문제를 입력하면...

Cymath 문제 해결 화면

이런 식으로 단계별 풀이를 제공한다. 한국어 번역은 안되지만 어떤 공식을 써서 단계를 넘어가는지 친절하게 설명한다.

요약

Microsoft, Symbolab, Cymath 세 사이트 모두 사용해보고 느낀 점은 각각 사이트마다 활용방법이 다르다는 것이다. 각 사이트마다 장단점이 있으니 이를 활용하여 수학 공부에 좋은 도구로 활용할 수 있기를 바라며 이번 포스트는 여기서 끝!

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피타고라스 정리를 증명하는 5가지 방법

왓수 Whatsoo — Thu, 15 Jun 2023 22:02:02 +0900

피타고라스 정리란?

피타고라스 정리는 가장 유명한 수학 공식 중 하나입니다. 피타고라스 정리는 중학교 수학시간에 배우는 내용이지만 고등학교 과정에서도 계속해서 등장하기 때문에 제대로 알고 넘어가는 게 좋아요.

피타고라스 정리는 중학교 2학년때 배우는 수학 공식 중 하나로, 삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계를 나타내는 공식입니다. 이 공식은 고대 그리스 시대에서부터 오늘날까지 수많은 사람들이 증명하려고 노력했는데요. 지금까지도 많은 학자들이 증명방법을 연구하고 있다고 합니다. 그렇다면 과연 어떤 방법으로 증명하는지 알아볼까요?

피타고라스 정리의 증명

액체를 활용한 피타고라스 정리의 시각화

위 영상은 액체를 이용하여 피타고라스 정리가 성립함을 간접적으로 보이고 있습니다. 신기하지 않나요? 하지만 이번 포스트에서는 피타고라스 정리를 증명하는 5가지의 수학적인 방법에 대해 소개합니다. 다양한 증명 방식을 알아보고 수학적 사고력을 길러보세요!

1. 피타고라스의 증명

피타고라스는 넓이를 이용하여 공식이 성립함을 증명하고자 했습니다. 그래서 직각삼각형 4개를 꼭짓점이 맞닿도록 이어붙여 아래 그림과 같이 한 변의 길이가 a+b인 정사각형을 만들었습니다.

직각삼각형의 각 접점을 꼭짓점으로 하는 가운데 작은 정사각형의 넓이와 4개의 삼각형의 넓이를 더한 값이 큰 정사각형의 넓이와 같다는 것을 이용하여 증명했습니다.

2. 바스카라의 증명

바스카라도 피타고라스처럼 넓이로 증명했습니다. 하지만 이번에는 삼각형을 배치하는 방식이 다른데요. 직각삼각형의 직각이 있는 부분을 안쪽으로 접하게 정사각형을 만들었습니다.

그렇다면 작은 정사각형의 한 변의 길이는 a-b가 되고 한 변의 길이가 c인 정사각형의 넓이는 직각삼각형 4개의 넓이와 작은 정사각형의 넓이의 합과 같다고 볼 수 있겠죠. 곱셈공식을 이용하여 증명할 수 있습니다.

3. 유클리드의 증명

교과서에서 주로 나오는 증명인 유클리드의 증명법은 삼각형의 각 변을 한 변으로 하는 정사각형을 그려 증명하는 방식입니다. 먼저 사각형 ACDE를 살펴봅시다.

사각형 ACDE를 절반으로 나눈 직각이등변삼각형 ACE의 넓이에 집중해봅시다.

삼각형 ACE와 삼각형 ABE는 밑변과 높이가 둘 다 일정하므로 넓이가 같음을 알 수 있습니다.

이어서 봅시다. 삼각형 ABE와 삼각형 AFC는 두 변의 길이가 같고 끼인각의 크기가 같은 SAS 합동입니다.

그러므로 두 삼각형의 넓이도 같음을 알 수 있습니다.

이번에는 점 C에서 선분 FG로 수선을 내려보았습다. 수선과 선분 AB와의 교점을 M, 선분 FG에 내린 수선의 발을 점 N이라고 한다면 삼각형 AFC의 넓이와 삼각형 FAM의 넓이도 같음을 알 수 있습니다.

따라서 삼각형 AEC와 삼각형 FAM의 넓이가 같고 각 삼각형은 각 사각형의 넓이의 절반이므로

사각형 ACDE의 넓이와 사각형 AMNF의 넓이가 같음을 알 수 있습니다.

비슷한 방법으로 사각형 CBHI와 사각형 BMNG의 넓이도 같음을 알 수 있습니다. (왜 그런지는 직접 증명해보세요!)

따라서 사각형 ACDE의 넓이와 사각형 CBHI의 넓이의 합이 사각형 ABGF의 넓이와 같으므로 피타고라스의 정리를 증명할 수 있습니다!

4. 미국 고등학생의 증명

이 증명은 중학교 수학 범위를 벗어난 내용이 포함되어 있습니다. 등비수열의 합과 사인법칙에 대해 공부를 한 뒤에 보시는 걸 추천합니다. 미국의 한 고등학생은 '와플콘'이라고 칭하는 직각삼각형들을 이어서 붙여 만든 도형을 생각했습니다. 그러므로 위의 그림의 모든 직각삼각형은 닮음이고 닮음비를 이용하여 선분 l과 m의 길이를 등비수열의 합으로 구했습니다.

그리고 선분 l과 m의 비율을 가지고 사인법칙을 활용하여 두 값이 같음을 이용하여 증명합니다.

사인법칙을 가지고 구한 sin2α의 값과 선분 l과 m으로 만든 sin2α의 값이 같음을 이용하여 증명했습니다.

아마 이해하기 힘들 수도 있어요. 고등학교 1학년 수학을 공부한 친구들은 꼼꼼히 읽어보길 추천합니다.

자세한 내용은 아래 링크에서 확인해보세요!

https://doooob.tistory.com/832

5. 레오나르도 다빈치의 증명

레오나르도 다빈치의 증명은 유클리드의 방법과 유사하지만 약간의 변형이 있습니다.

파란색 점선과 두 육각형에 주목해보세요. 두 육각형 모두 한 변의 길이가 a+b인 정사각형에 똑같은 직각삼각형 2개가 빠진 도형이므로 넓이가 똑같습니다.

정리

이번 글에서는 가장 보편적으로 알려진 피타고라스 정리를 증명하는 5가지 방법을 알아보았습니다. 피타고라스 정리는 수학에서 가장 유명한 정리 중 하나입니다. 이번에는 이 정리를 증명하는 다섯 가지 방법을 알아보았습니다. 특히 수학자들은 오랜 시간동안 피타고라스 정리를 증명하기 위해 노력했습니다. 특히 네번째 증명은 최근에 나온 증명이고 증명하는 방법은 400가지가 넘는다고 합니다. 우리가 이번 포스트에서 배워야할 것은 이 정리를 이용하여 다양한 문제를 푸는 것은 물론, 이 정리를 증명하는 것도 수학을 공부하는 데 있어서 중요한 일 중 하나라는 것입니다. 여러분도 이 정리를 증명하는 다양한 방법을 공부하여 수학적 사고력을 키워보세요!

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안녕하세요. 수학하는 왓수입니다.

왓수 Whatsoo — Thu, 15 Jun 2023 13:25:23 +0900

중학교 수학, 고등학교 수학에 대한 모든 이야기를 써보겠습니다.

파이팅